Mann–Whitney U test (等級和檢定)

檢定名稱:MW 檢定

英文名稱:Mann–Whitney U test

定義:用於檢定兩母群體統計量(中位數)差異,但不需母體為常態分布及變異數相同之假設前提。

檢定方法:
將兩樣本資料混合,依數值由小排到大並標記排序分數,再將排序分數依兩樣本分別列出,分開加總兩樣本之排序分數得R1、R2。 檢定R1、R2與期望值差異情形以推測兩母群體統計量差異。

補充:Wilcoxon 排序和檢定各組樣本數至少要 6 以上。Wilcoxon 排序和檢定與有母數分析法中 兩獨立樣本 t 檢定 的使用情況相似。

資料來源:http://homepage.ntu.edu.tw/~clhsieh/biostatistic/10/10-2.htm

楊註:

此檢定又稱 Mann–Whitney–Wilcoxon test (MWW 檢定) or Wilcoxon rank-sum test (Wilcoxon 等級和檢定, R 和 gretl 都如此命名)

此檢定之適用情況,與有母數分析法中 「兩獨立樣本 t 檢定」 的使用情況相似。

計算方法: (引自 wikipedia 維基百科)

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其中 n1n2  分別是樣本 1 和 樣本 2 的樣本數 (兩者可不相同)。樣本數較大時, 可以用常態分配逼進查臨界值 (不管你用 U1 、U2  哪一個來計算 z 值,結果將相同。

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在 gretl 中的操作範例 (另可使用我寫的 mwu() 套件函數)

1. 在主選單按 [工具]→[無母數檢定]

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2. 在以下的對話視窗中選擇要檢定的變數 (例如 p1 和 p2), 勾選 [Wilcoxon 等級和檢定] 再按 [確定] 即完成檢定。

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3. 檢定結果如下圖所示

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結果說明:

注意最下方的說明, 其中 [樣本 1 的等級和 w1 (= 維基百科中的 R1) = 246,和上述維基百科中所計算之 U1 不同,需要一點解釋。上圖中 group “a”  的 rank 分別是 1, 2, 4,6, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 25, 27, 28, 29,其值之和 W1 = 246;  mu  = U1 -(U1 + U2) /2 = W1 – n1(n1+1)/2 – n1n2/2
= W1-(1/2)*n1*(n1+1 + n2) = 246 – 15 (15+16) /2 = 246 – 232.5;

而 標準差 = (n1*n2 *(n1+n2+1)/12)^0.5 = 24.1091.

隻尾和單尾檢定結果都無法拒絕 H0; 表示 p1、p2這兩個數列無法區分誰大誰小。

在 R 中的操作範例 (利用 gretl)

1. 在主選單按 [工具]→[開啟 GNU R]

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2. 開啟了 R console 之後, 可下指令 p1, 和 p2 來看 gretl 傳來的資料是否正確; 最後再利用以下指令來執行 Mann-Whitney 檢定:

wilcox.test(p1,p2)

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> wilcox.test(p1,p2)

Wilcoxon rank sum test

data:  p1 and p2
W = 126, p-value = 0.5949
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

這個結果是 R 計算的雙尾 p-value; R 算出來的雙尾 p值是 0.5949 (gretl 是 0.575511),數據不儘然相同 (沒仔細比較驗算, 猜應該是逼進常態的方式不同)。

若要計算單尾 p-值,則要改成以下的指令 (加上參數 alternative = “greater”) :

wilcox.test(x, y, alternative = “greater”)

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R 算出來的單尾 p值是 0.2974 (gretl 是 0.287755)。

在 R 中, 可以輸入「?wilcox.test」指令來看 Help 說明 (圖面如下):

image

mwu.zip function packages for gretl

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